Funciones implícitas y dependencia funcional

Résumé

El teorema de las funciones implícitas (sistemas) es probablemente el más importante del Análisis Matemático y en éste el determinante funcional o jacobiano tiene un rol preponderante. Si bien las propiedades importantes de los jacobianos son aplicables en muchos temas del análisis, nosotros queremos resaltar su relevancia en el concepto de dependencia funcional, destacando condiciones necesarias y suficientes para la dependencia y la independencia entre funciones. ¿Cuál es el motivo que nos mueve a hacer esto? Simplemente porque la dependencia funcional cumple un papel superlativo en Economía. En efecto, en el análisis económico se dan relaciones entre variables agregadas, obtenidas a partir de las interacciones, deseos e intereses de millones de consumidores y productores que, sin embargo, parecen ponerse de acuerdo en generar tanto una “demanda global” o “agregada” de un determinado bien de consumo como la correspondiente “oferta global” del mismo. Las relaciones que, con independencia del sustrato individual que las genera, se puedan establecer entre las variables serán de la ma\or importancia en el estudio de mercado del bien o consumo en cuestión. Surge de esta manera una correspondencia funcional, de unas pocas variables que en realidad están vinculadas a millones de otras, sin que estas últimas aparezcan explícitamente en el problema considerado, es decir, nace una relación funcional reducida que no depende del conocimiento (imposible por otra parte) de millones de opiniones. Abonando lo antes expuesto, hacemos notar que en la descripción cuantitativa de muchos fenómenos naturales aparece una multitud de variables que por un proceso de abstracción permite descomponer un proceso complejo, en elementos más simples. Esto nos hace advertir que este mecanismo de obtención de relaciones funcionales no tiene porqué quedarse al primer nivel. No necesariamente existen variables que puedan considerarse como independientes en términos absolutos dependiendo las demás de ellas, sino que pueden existir niveles superpuestos descritos mediante funciones compuestas. Caso realmente notable es el de la teoría cinética de los gases donde las variables macroscópicas: presión (p), volumen (V) y temperatura (T), se explican en términos de las velocidades de las moléculas que componen el gas y el de los choques entre ellas y vienen definidas en términos de cuatrillones de variables que son las posiciones y velocidades de todas esas moléculas, Sin embargo siempre se verifica que T «IpV con independencia de las posiciones y velocidades argumentadas que es del
orden de I0*4 variables.